Задачи из сборников Ященко, 2021 год, Вариант 6: изучаем вместе

а) Решите уравнение $4 \cdot 256^{\sin x}-65 \cdot 16^{\sin x} +16 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [- \frac{5 \pi}{2};-\pi].$

Решение:

Сделаем замену $16^{\sin x}=t, t \, \textgreater \, 0.$

Тогда $256^{\sin x}=t^2.$

Получим:

D = 65^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 = 65^2 - 16^2 =

\displaystyle t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Вернёмся к переменной x.

б) Найдём корни уравнения на отрезке $\displaystyle [- \frac{5 \pi }{2}; - \pi]$ с помощью единичной окружности. Отметим на ней отрезок $[- \frac{5 \pi }{2}; - \pi]$ и найдём серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $\displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3 \pi}{2}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi}{2}+2 \pi n, \, n \in Z; - \frac{\pi}{6}+2 \pi k,- \frac{5 \pi}{6}+2 \pi k, \, k \in Z;$

б) $\displaystyle - \frac{13 \pi}{6}; - \frac{3\pi}{2}.$

В этой задаче лучше всего в самом начале сделать замену переменной, решить показательной уравнение, а затем вернуться к переменной х и решить тригонометрические уравнения.